Осипова Галина Викторовна

Итоги летней олимпиады

galina-class — Tue, 22 Aug 2017 05:22:56 GMT

Итоги летней олимпиады "Попробуй, реши! Или: любите ли вы математику, как я люблю её?" 2017 год.

ПОБЕДИТЕЛИ: Михайлова Полина, Клименко Виталий, Тюленева Анастасия

ПРИЗЕРЫ: Бричко Матвей, Волченко Софья, Павловский Владимир, Сильников Антон, Юрченко Иван

ХОРОШО ПОРАБОТАЛИ: Зуев Александр, Марусев Даниил, Евдокимова Ирина, Вдовенко Павел, Сильянов Данил

СПАСИБО ЗА УЧАСТИЕ: Губанова Елена, Романова Алиса, Юрьева Анастасия, Шагаев Андрей, Шкадаков Георгий, Бондарева Алина, Ратушный Егор, Голованова Дарья, Зимин Артём.

Желаю всем успехов во всём!

Я переехала в Москву, но остаюсь с вами на связи в любое время!

Осипова Галина Викторовна

Решение задач 5 тура

galina-class — Thu, 17 Aug 2017 16:27:50 GMT

№1. Достаточно восьми карточек. При этом на первой карточке зачеркиваем числа от 1 до 6, на второй - от 7 до 12 и т.д., на восьмой - от 43 до 48. При этом условие задачи выполнится. Докажем, что семи карточек может не хватить. Действительно, на семи карточках можно зачеркнуть не более 42 номеров, а все выигрышные могут оказаться среди семи оставшихся.

№2. Докажем, что Миша всегда сможет "увернуться". Для этого разделим доску на квадраты размером 2 на 2 и раскрасим эти квадраты в шахматном порядке. Первыми двумя ходами Миша должен "подобраться" к ближайшей точке, где сходятся углы четырёх раскрашенных квадратов, а затем "крутиться" вокруг неё, каждый раз перекладывая свой квадрат на клетку того же цвета, на котором находится в данный момент квадрат Бори.Очевидно, Боря в таком случае не сможет его "накрыть".

№3. Прежде всего следует найти ограничения для S снизу и сверху. Для этого обозначим числа, стоящие в клетках, буквами от А до И. Очевидно, можно указать четыре квадрата размером 2 на 2, сумма чисел в каждом из которых равна S. Тогда сумма чисел в этих четырех квадратах: 4S = (А+Б+Г+Д) + (Б+В+Д+Е) + (Г+Д+Ж+З) + (Д+Е+З+И) = (А+Б+В+Г+Д+Е+Ж+З+И) + (Б+Г+Д+Е+З) + 2Д.

Заметим, что первая скобка равна 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 (так как в ней содержатся по одному разу все натуральные от 1 до 9). Вторая скобка не меньше суммы пяти наименьших чисел, т.е. 1+2+3+4+5 = 15, и последнее слагаемое, конечно, не меньше 2. Поэтому 4S больше либо равно 4S + 15 +2 = 62, и S не меньше 16.

Аналогично определяется и оценка сверху: S не больше 24.

Таким образом, имеется (подумать только!) 9 "кандидатов", и остаётся привести примеры, которые, оказывается, существуют для всех этих значений (найдите их самостоятельно).

№4. Эту задачу можно сформулировать так: можно ли завернуть в платок размером 3 на 3 куб со стороной, равной 1, не разрезая платок?

Можно!!!

№5. Каждому острому внутреннему углу соответствует тупой внешний. Так что задачу можно сформулировать по-другому: сколько тупых внешних углов может иметь выпуклый многоугольник?

При каждой вершине сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°. Чтобы получить сумму внешних углов выпуклого n-угольника надо из 180•n вычесть сумму внутренних углов, которая равна 180• (n - 2).

Итак, сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон и равна 360°. Значит, более трёх тупых внешних углов выпуклый многоугольник иметь не может, что означает, что он не может иметь более трёх острых внутренних углов. А ровно три острых угла имеет, например, остроугольный треугольник.

Спасибо всем, кто работал со мной этим летом!

Решение задач 4 тура

galina-class — Fri, 04 Aug 2017 07:41:21 GMT

№1.

Если бы они стояли на месте, то получилось бы 7! = 5040 перестановок. Но так как девушки танцуют, то их положение относительно окружающих предметов не существенно, а важно лишь взаимное расположение. Поэтому перестановки, переходящие друг в друга при кружении танцовщиц надо считать одинаковыми. но их каждой перестановки можно получить еще шесть новых путем вращения. Значит, число 5040 надо разделить на 7. Получаем 720 различных перестановок девушек в хороводе.

№2.

Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть четным. Получили противоречие. Значит, такой ломаной не существует.

№3.

Из двух сцепленных шестеренок одна вращается по часовой стрелке, а другая - против. Тогда первая и девятая шестеренки вращаются в одну сторону и сцепленными быть не могут. А сцепленные по кругу шестеренки могут вращаться, только если их количество четно.

№4.

Пересечь сторону многоугольника прямая может только один раз. Сколько раз прямая "входит" в многоугольник, столько раз она должна и "выйти" из него. А раз у 11-угольника нечетное число сторон, то прямая, не проходящая через вершину (тогда можно было бы пересечь две стороны сразу), не может пересекать все его стороны.

№5.

Сумма данных чисел равна 21, т.е. нечетное число. В результате указанной операции сумма чисел возрастает на 2, т.е. остается нечетной. А сумма шести равных чисел четная. Значит, применяя указанную операцию, сделать все числа одинаковыми не удастся.

И вот задачи последнего, 5 тура нашей летней олимпиады!

galina-class — Tue, 01 Aug 2017 06:52:56 GMT

5 тур.

1. Какое наименьшее число карточек спортлото "6 из 49" надо купить, чтобы наверняка на одной из них был угадан хотя бы один номер?

2. В одном из углов шахматной доски лежит плоский картонный квадрат размером два на два, а в противоположном углу - квадрат размером один на один. Двое играющих по очереди перекатывают (как, например, "перекатываются" страницы в книге при чтении) каждый свой квадрат через сторону: Боря - большой квадрат, а Миша - маленький. Боря выигрывает, если Мишин квадрат окажется на клетке, накрытой Бориным квадратом. Начинает Боря. Может ли он выиграть независимо от игры Миши?

3. В клетках квадратной таблицы размером три на три расставлены числа 1, 2, 3, ..., 9 так, что сумма каждых четырёх чисел, заполняющих квадрат размером два на два, равна одному и тому же числу S. Найдите все возможные значения S.

4. Из квадрата бумаги, сторона которого равна 3 единицам длины, надо вырезать фигуру, представляющую собой развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1 единице длины. Как это можно сделать?

5. Сколько острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Успехов!!!

Решение задач 3 тура

galina-class — Wed, 19 Jul 2017 09:53:05 GMT

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

Задачи 4 тура "Попробуй. реши!" 7 класс

galina-class — Tue, 18 Jul 2017 08:13:42 GMT

№1. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

№2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое звено ровно один раз?

№3. Девят шестеренок сцеплены по кругу: первая со второй, вторая с третье и т.д., девятая с первой. Могут ли они вращаться? А если шестеренок n?

№4. Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?

№5. Даны шесть чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Разрешается к любым двум из них прибавить 1. Можно ли все числа сделать равными?

Решение задач 2 тура

galina-class — Mon, 03 Jul 2017 13:29:16 GMT

Решение задач 2 тура

Задачи 3 тура "Попробуй. реши!" 7 класс

galina-class — Mon, 03 Jul 2017 12:21:43 GMT

Задачи 3 тура "Попробуй. реши!" 7 класс

Решение задач 1 тура

galina-class — Wed, 21 Jun 2017 16:17:23 GMT

№2. Для удобства назовём начинающего игру первым игроком, его соперника - вторым игроком, кучку, содержащую четное число орехов, - "четной " а содержащую нечетное число орехов, - "нечетной".При этом нельзя выполнить очередной ход только в том случае, когда обе кучки содержат по одному ореху.

Докажем, что если с начала игры хотя бы одна из кучек будет "четной", то при правильной игре первый игрок всегда выиграет. Если же обе кучки будут "нечетными", то при правильной игре соперника первый игрок всегда проиграет.

Действительно, если одна из кучек "четная", то другую кучку можно переложить на тарелку, а "черную" кучку разделить на две меньшие так, чтобы каждая из меньших кучек стала "нечетной".Если после этого второй игрок еще имеет возможность сделать свой ход, то одну из образованных "нечетных" кучек он должен переложить на тарелку, а другую поделить. Но при этом одна из новых кучек станет "четной", а другая "нечетной".Таким образом перед очередным ходом первого игрока мы получили начальную ситуацию, только с меньшим числом орехов.

Так как после каждого хода количество орехов уменьшается, рано или поздно после хода первого игрока останутся две кучки, в которых по одному ореху, и второй игрок не сможет выполнить свой очередной ход.

Если в начале игры обе кучки были "нечетными", то после первого хода первого игрока одна из кучек станет "четной", то есть мы приходим к _{первоначальному}случаю, только игроки теперь поменялись местами: начинает второй игрок, значит, он и должен выиграть.ОТВЕТ:чтобы выиграть, девочка на первом ходу кучку из 19 орехов должна переложить на тарелку, а кучку из 24 орехов произвольным образом разделить на две "нечетные" кучки. Далее она должна играть согласно описанной стратегии.

_{№3. РЕШЕНИЕ. Даша старше Беллы. Действительно, предположим, что Даша не старше Беллы, тогда из второго ее утверждения следует, что она моложе Гали. В таком случае из ее последнего утверждения следует, что она старше Ани.Теперь из третьего утверждения Даши получаем, что она не моложе Веры, а это противоречит ее первому утверждению!}

ОТВЕТ: Даша старше Беллы.

№4. Решение. ПустьVп, V_в и V_м метров в минуту - скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. За 6 минут мотоциклист проезжает 6V_м метров; так как он догнал велосипедиста, который за это время проехал расстояние 6V_вметров, получим: 6V_м = 100 + 6V_в.За 12 минут мотоциклист проехал 12V_м метров: так как он догнал пешехода, прошедшего за это время 12V_п метров, получим: 12V_М = 400 + 12V_П. тогда 100 + 6V_в = 200 + 6V_П и V_в = 100/6 +V_в.

Если велосипедист догонит пешехода через t минут, они за это время преодолеют tVв и tV_п метров соответственно, а начальное расстояние между ними было 400-100=300 метров., поэтому tV_в = 300+tV_п, 100/6t+tV_п=300+tV_п, откуда t=18 минут. Ответ: 18 минут.

№5.Так как в волейболе ничьих не бывает, не имеют побед те команды, которые проиграли всем остальным. Но это может быть лишь одна команда, так как если бы их было две или больше, то кто- то из них победил во встрече. Значит 20% команд составляет ровно одна команда и всего было 5 команд. А в турнире было проведено (5·4·2) :2=20 встреч. Ответ: 20 встреч.

№6*.Решение. Посмотрим, какие натуральные числа можно получить из числа 1 указанными операциями:

1) из 1 можно получить 2 , увеличив на 100%;

2) из 2 можно получить 3 и 4 , увеличив на 50 и 100% соответственно;

3) из 4 можно получить 5, увеличив на 25%;

4) из 5 можно получить все числа от 6 до 10, увеличивая на число процентов, кратное 20;

5) из 10 можно получить все числа от 11 до 20, увеличивая на число процентов, кратное 10;

6) из 20 можно получить все числа от 21 до 25, увеличивая на число процентов, кратное 5;

7) из 25 можно получить все числа от 26 до 50, увеличивая на число процентов, кратное 4;

8) из 50 можно получить все числа от 51 до 100, увеличивая на число процентов, кратное 2;

9) из 100 можно получить все числа от 101 до 200,увеличивая на целое число процентов от 1 до 100.

Далее можно получить все четные числа вплоть до 210. увеличивая 200 на целое число процентов, а так же все нечетные числа от 201 до 209 включительно. Дело в том, что все эти нечетные числа - составные, поэтому для каждого надо подобрать меньшее число,которое можно затем увеличить на целое число процентов. например, 2×;67=134, увеличив его на 50 %.

Таким образом мы "уперлись" в число 211. Оно простое, и именно в этом заключается невозможность его получения.. Действительно, допустим, его все-таки можно получить из некоторого натурального числа N<211, увеличив его на p% (где p - целое, не превышающее 100). Это значит, что 211 = n (1 + p/100), или 211•100 = n (100+p), что невозможно, так как левая часть последнего равенства делится на простое число 211, а правая не делится. Ответ: 211.

задачи 2 тура "Попробуй. реши!"7 класс

galina-class — Sun, 18 Jun 2017 17:36:37 GMT

№1. Буратино и Папа Карло планировали положить Свои капиталы на общий счёт в банк "Навроде" под 500% годовых, рассчитывая через год забрать вклад суммой 900 золотых монет. Крах банка изменил их планы.Папа Карло положил свои деньги в банк "Вампириал" под 50% годовых, а Буратино - в банк "Обирон", даже не поинтересовавшись процентной ставкой.Ровно через год они забрали свои вклады.Оказалось, что Папа Карло получил 150 золотых, а Буратино в 3 раза меньше. Какой процент годовых даёт банк "Обирон"?

№2. В городе отличников от каждой площади отходит ровно 5 улиц. Докажите, что число площадей чётно, а число улиц делится на 5 (улицы соединяют площади).

№3. По четырём одинаковым окружностям с центрами в вершинах квадрата с постоянными равными скоростями бегают спортсмены, не переходя с окружности на окружность.Известно, что из любых трёх спортсменов хотя бы двое иногда встречаются. Каково наибольшее возможное число спортсменов? (Спортсмены могут встретиться, если они бегут по одной окружности в противоположных направлениях или если они бегут по разным окружностям, но одновременно оказываются в точке касания окружностей).

№4. Три магазина торговали зимними пальто. В первом магазине было 11 пальто, во втором -25, в третьем - 29 пальто. Известно, что каждый магазин часть пальто продал до новогодней распродажи и часть - во время распродажи, при этом каждый магазин продал все пальто. До новогодней распродажи цена одного пальто была одинаковой во всех трёх магазинах. Во время новогодней распродажи все три магазина также продавали пальто по одинаковой цене, но более низкой.От всех проданных пальто все магазины получили одинаковую выручку: по 62 млн рублей каждый. Найдите общую выручку, полученную тремя магазинами от новогодней распродажи пальто.

№5. Клетчатый прямоугольник размером 2 на 3 сложен из 17 спичек.Какие размеры может иметь клетчатый прямоугольник. составленный из 1000 таких же спичек?